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第五章 微分方程与差分方程#

• 微分方程：含有未知函数导数的等式；阶 = 最高阶导数的阶数
• 线性：未知函数及其导数都是一次的；否则非线性
• 通解含独立任意常数，个数 = 方程阶数；特解 = 代入初值条件确定常数
• 通解 = 一族曲线，特解 = 一条曲线

一阶微分方程#

• 可分离变量：g(y)dy = f(x)dx，分离后两边积分
• 齐次方程：dy/dx = φ(y/x)，令 u = y/x 化为可分离
• 一阶线性：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通解 = e^(-∫Pdx)·[∫Qe^(∫Pdx)dx + C]
• Q(x)≡0 为齐次线性，Q(x)≠0 为非齐次线性
• 伯努利：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^α，令 z = y^(1-α) 化为线性

二阶常系数线性微分方程#

• y” + by’ + cy = f(x)；特征方程 r² + br + c = 0
• 通解结构：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
• 齐次通解由特征根决定：
  • 两不等实根 r₁≠r₂：y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)
  • 重根 r₁=r₂：y = (C₁ + C₂x)e^(r₁x)（必须乘x）
  • 共轭复根 α±βi：y = e^(αx)(C₁cosβx + C₂sinβx)
• 非齐次特解设定：f(x) = P_m(x)e^(ρx) 时，y* = x^k·Q_m(x)e^(ρx)
  • ρ不是特征根：k=0；ρ是单根：k=1；ρ是重根：k=2

差分方程#

• Δy_n = y_{n+1} - y_n（一阶差分）
• 一阶齐次：y_{n+1} - by_n = 0，通解 y_n = Cb^n
• 二阶特征方程 r² + br + c = 0，通解形式与微分方程类似但用 r^n 而非 e^(rx)

第六章 多元函数微分学#

向量#

• a·b = |a||b|cosθ = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂
• |a×b| = |a||b|sinθ，方向右手法则；a×b = -b×a（反交换）
• a ∥ b <==> a = λb <==> a × b = 0
• a ⊥ b <==> a · b = 0

多元函数极限与连续#

• 二元极限要求从任意方向逼近都趋于同一值（仅沿有限条路径相等不能说明极限存在）
• 有界闭区域上连续函数必有最大最小值（最值定理）

偏导数与全微分#

• 偏导数 = 固定其他变量对一个变量求导
• 全微分：Δz = f_xΔx + f_yΔy + o(ρ)，ρ = √(Δx²+Δy²)

⭐ 连续、可微、偏导数的关系（图6-17，所有箭头不可逆）#

• 偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续 ⇒ 极限存在
• 可微 ⇒ 偏导数存在
• 反例：
  • f(x,y) = √(x²+y²)：连续但偏导数不存在
  • f(x,y) = xy/(x²+y²)：偏导数存在但不连续
  • 偏导数存在 ⇏ 可微，连续 ⇏ 可微

高阶偏导数#

• 混合偏导数连续时可交换求导次序：∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x

隐函数求导#

• F(x,y)=0：dy/dx = -F_x/F_y（F_y≠0）
• F(x,y,z)=0：∂z/∂x = -F_x/F_z，∂z/∂y = -F_y/F_z（F_z≠0）

极值#

• 必要条件：f_x=f_y=0（驻点），但驻点不一定是极值点
• 充分条件：Δ=AC-B²，A=f_xx, B=f_xy, C=f_yy
  • Δ>0, A>0 ⇒ 极小；Δ>0, A<0 ⇒ 极大；Δ<0 ⇒ 无极值；Δ=0 ⇒ 不确定
• 极值是局部概念，最值是整体概念

拉格朗日乘子法#

• 求 f(x,y) 满足 φ(x,y)=0 的极值
• 构造 L(x,y,λ) = f(x,y) + λφ(x,y)，解 L_x=L_y=L_λ=0

第七章 二重积分#

• 二重积分 = 曲顶柱体体积，定义中 λ 是小区域的直径（不是面积）
• 连续函数在有界闭区域上必可积（充分条件）
• 几何意义：∬_D f(x,y) dσ = 曲顶柱体体积（f≥0）
• ∬ kf dσ = k∬ f dσ；∬(f±g) dσ = ∬f dσ ± ∬g dσ
• 区域可加：D = D₁∪D₂ ⟹ ∬D = ∬{D₁} + ∬_{D₂}
• ∬_D 1·dσ = σ（区域面积）
• 保号性：f≤g ⟹ ∬f≤∬g；|∬f| ≤ ∬|f|
• 估值定理：mσ ≤ ∬f dσ ≤ Mσ
• 中值定理：∬f dσ = f(ξ,η)·σ，至少存在一点(ξ,η)
• 直角坐标 dσ = dxdy；极坐标 dσ = rdrdθ（漏乘r就错）
• x-型：φ₁(x)≤y≤φ₂(x)，先y后x；y-型：ψ₁(y)≤x≤ψ₂(y)，先x后y
• 矩形区域 f(x,y)=g(x)h(y) 时：∬ = ∫g(x)dx · ∫h(y)dy
• 极点在D外：r₁(θ)≤r≤r₂(θ)；极点在D内：0≤r≤r(θ)
• 适用极坐标的条件：圆域或被积函数含 f(x²+y²)、arctan(y/x)
• 有些积分必须换次序才能算（如 ∬e^{-y²}dσ，先对x后对y）

第八章 无穷级数#

基础#

• 级数收敛 <==> 部分和数列有极限
• 级数收敛 ⇒ a_n→0（必要不充分，调和级数反例）
• a_n ⇏ 0 ⇒ 级数必发散
• 去掉或加有限项不影响敛散性
• 收敛级数加括号后仍收敛

两个重要级数#

• 几何级数 ∑aq^(n-1)：|q|<1 收敛，和 = a/(1-q)；|q|≥1 发散
• p-级数 ∑1/n^p：p>1 收敛，p≤1 发散（调和级数 p=1 发散）

正项级数判别法#

• 比较判别法：a_n≤b_n，∑b_n收⇒∑a_n收；∑a_n散⇒∑b_n散
• 比值判别法：ρ = lim(a_{n+1}/a_n)，ρ<1 收，ρ>1 散，ρ=1 失效
• 莱布尼茨（交错级数）：(-1)^{n-1}a_n，a_n单调递减且→0 ⇒ 收敛

绝对收敛与条件收敛#

• ∑|a_n|收 ⇒ ∑a_n收（绝对收敛）
• ∑a_n收 ⇏ ∑|a_n|收（条件收敛：如交错调和级数）

幂级数#

• 收敛半径 R = 1/lim|a_{n+1}/a_n|
• |x|<R 收敛，|x|>R 发散，端点 x=±R 需单独判断
• 逐项求导/积分不改变收敛半径（端点可能变）

常用麦克劳林展开#

• e^x = ∑x^n/n!，收敛域 (-∞,+∞)
• sinx = ∑(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!，收敛域 (-∞,+∞)
• cosx = ∑(-1)^n x^{2n}/(2n)!，收敛域 (-∞,+∞)
• 1/(1-x) = ∑x^n，收敛域 (-1,1)
• ln(1+x) = ∑(-1)^{n-1}x^n/n，收敛域 (-1,1]
• arctanx = ∑(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)，收敛域 [-1,1]

泰勒展开#

• f(x)可展开为泰勒级数 <==> 余项 R_n(x)→0
• 有各阶导数 ≠ 能展开成泰勒级数（必须验证余项趋于0）